Główne osiągnięcie – teoremat Goedla

Udowodnione w 1931 roku twierdzenie o niezupełności, które mówi, że w każdym systemie aksjomatycznym występują twierdzenia, które są prawdziwe, ale których nie można udowodnić. (Przykład: system aksjomatów arytmetyki stworzony przez włoskiego matematyka Peano).

Do owej pory sądzono, że matematyka jest nauką zupełną. Dowód Gödla dał odpowiedź negatywną.
Konkluzją jest też, że nie da się tak zaprogramować komputera, by rozwiązał on wszystkie problemy matematyczne.

Sprawa zachacza o możliwość powstania języka idealnego – gdyby był on możliwy, to można by napakować komputer aksjomatami, puścić go w ruch i czekać spokojnie na to aż wyprowadzi wszystkie twierdzenia prawdziwe. Na konferencji w 1931 roku Gödel udowodnił, że istnieje więcej twierdzeń, niż da się wyprowadzić z aksjomatów – czyli że zdań prawdziwych jest więcej niż dowodliwych. Pośrednio wynika z tego, że matematyka może zawierać zdania sprzeczne – nie ma dowodu na niesprzeczność matematyki. Jeszcze innmi słowy, metoda dedukcyjna jest niewyczerpująca (jest zawodna).

Twierdzenie Gödla – w każdym systemie formalnym w którym można wyrazić teorię liczb istnieje formuła nierozstrzygalna, tzn. formuła, która jest prawdziwa lub fałszywa, ale taka, że ani ona, ani jej negacja nie jest dowodliwa.

Twierdzenie o niezupełności

Dowolny system formalny zawierający w sobie aksjomaty arytmetyki liczb naturalnych, jest albo zupełny albo spójny i nigdy nie posiada obu tych cech jednocześnie. Można dowodzić prawdziwości wszystkich zdań takiego systemu, jednak wówczas istnieje w systemie pewne prawdziwe zdanie P, którego zaprzeczenie ~P również jest prawdziwe. Tak więc, albo system jest sprzeczny wewnętrznie, albo istnieją zdania, których prawdziwości nie da się wywieść z jego aksjomatów i twierdzeń.

Jeszcze inaczej, jak to zgrabnie pan Stanisław Lem ujął, „są wyspy na oceanie matematyki, do których nie sposób dotrzeć za pomocą małych kroczków metody dedukcyjnej” .

Konsekwencje i pojęcia pokrewne

Zdanie Gödlowskie – „jestem zdaniem bez dowodu”

Upadek logicyzmu – wyprowadzenie całej matematyki z systemu aksjomatów niemożliwe

Platonizm –matematyka istnieje jako osobny świat, który jest odkrywany, nie konstruowany, który nie ma charakteru empirycznego (bo istnieją twierdzenia niezależne od założeń).

Konsekwencja: teoria typów Russella (że pewne sformułowania są niedopuszczalne formalnie) jest błedna.

Każda liczba to iloczyn potęg liczb pierwszych. Liczby interpretowane jako ciąg wykładników potęg kolejnych liczb pierwszych. Uniwersalna metoda szyfrowania o odszyfrowywania tekstów.

Przepisanie logiki w liczbach Gödla. Ciąg liczb definiuje (symbolizuje) nam twierdzenie logiczne. Większość wyrażeń reprezentowanych przez liczby pierwsze jest źle zbudowanych, niektóre są poprawne.

Tak więc wniosek jest taki: Wszystkie twierdzenia są dopuszczalne – inaczej trzeba by uznać, że pewne liczby nie istnieją.

Droga dojścia

Założenia: Wszystkie liczby jakie istnieją, są zapisem jakiegoś twierdzenia matematycznego. Większość symbolizuje zdania bezsensowne, czasem jednak sensowne, a jeszcze rzadziej symbolizują zdania, które wynikają z innych.

Wszystkie twierdzenia sa już zapisane w tym sensie, że istnieją liczby

Przyjmijmy następującą symbolikę

~ 1 v 2 3 4 = 5 0 6 s 7 ( 8 ) 9 . 10

x 11 y 13 z 17 p 11^2 q 13^2 r 17^2 P 11^3 Q 13^3 R 17^3

wtedy zdanie

dla składników będzie miało liczbę Goedlowską

11^2 x 3 x 13^2 (czyli 61 347)

natomiast numer całej cała formuła będzie następujący:

=m

(przy czym bazy potęg to kolejne liczby pierwsze)

Twierdzenie Göedla:

Russell myślał, że logika to konstruowanie. Gödel mówi, że twierdzenia trzeba odszyfrować, a nie konstruować. Wszystkie twierdzenia już są zapisane w tym sensie, że istnieją liczby.

(G) (x) ~Dem(x,sub(n,13,n))

czyli: Dla wszystkich zdań w systemie dedukcyjnym nie jest prawdą, że istnieje dowód twierdzenia, jeśli pod n podstawi się formułę.

Do Dem(x,y) pod y podstawiamy to samo: i otrzymujemy:

Dem(x,sub(n,13,n)) pod y = sub(n,13,n)

Przy czym:

w formule Dem (x,y) y mówi o całej formule

a w Dem(x,(Dem(x,y)) – nie wiemy czego symbolem jest y

Możemy nie znać treści formuły, a jedynie sprawdzić relacje arytmetyczne między formułami.

Wnioski: czyli na pohybel Russellowi i innym struchlałym ze strachu miłośnikom metody dedukcyjnej, istneiją zdania, które są prawdziwe, a jednocześnie takie, których udowodnić się nie da. Formuła powyższa jest niewyprowadzalna a jednocześnie wyrażalna arytmetyczne. Po prostu po arytmetyzacji matematyki okazuje się, że sa formuły niedowodliwe środkami systemu.