Logika czasów Fregego – psychologizm: logika i matematyka - nauki normatywne i psychologiczne - zespół norm myślenia.

Dwa nadrzędne cele Fregego (podjęcie idei Leibniza):

a) calculus ratiocinator – uniwersalny rachunek rozumowy (rachunek rozumowań) – poszukiwanie niezawodnych metod dowodzenia i wynikania o charakterze całkowicie formalnym – ustalenie sposobu wynikania jednych zdań z drugich na podstawie ich budowy.

b) lingua characterica – uniwersalny język ogólny – język mogący wyrazić wszystkie myśli wyrażalne w języku naturalnym, ale abstrahujący od jego własności leksykalnych i odwołujący się jedynie do charakterystycznych, istotnych, syntaktycznych własności wyrażeń, wspólnych wszystkim językom

Oba w jednym i tym samym języku, który ma pełnić dwie funkcje.

Forma gramatyczna a forma logiczna zdania

(1) W ogrodzie jest siedem drzew.

(2) W ogrodzie są drzewa, których jest siedem.

F(x) i g(x)

Bycie_w_ogrodzie(drzewo) i bycie_siedmioma(drzewo)

Forma gramatyczna zdań czymś innym niż sens, któremu odpowiada forma logiczna.

ƒ(a) – pierwsza propozycja logicznego zapisu treści i struktury zdań, niezależnego od gramatyki

(J1) Niedługo liście spadną z drzew

(J2) Że niedługo liście spadną z drzew jest faktem  tylko jeden predykat – „jest faktem”

Język J2 jest bardziej odległy od języka potocznego, ale jest bliższy logice, bo pozwala zapisać każdą treść, porównywać zdania. Może zajść rozmnożenie, modyfikacja (dostosowanie) orzeczników, jeśli wyodrębnimy różne światy i sensy. Języki J1 i J2 są logicznie identyczne.

Symbolizm Fregego

Zapis ƒ(a) można uprościć, pomijając nawias: ƒa [gotyk]. Kategoria jest wyznaczona przez kształt.

Zapis treści zdania

 symbol treści zdania (możliwość, sąd)

| uniwersalny orzecznik „jest faktem”;

| znak asercji – „jest faktem, że p” (Odróżnienie treści wypowiedzianej hipotetycznie od twierdzenia )

 f(a) treść f(a)

- implikacja

ƒ(b)  ƒ(a) faktem jest, że f(a), jeśli f(b)

- duży kwantyfikator (pierwszy graficzny zapis kwantyfikatorów)

- spójnik negacji

Spójniki zdaniowe (~, , , , ) oraz kwantyfikator szczegółowy definiowane za pomocą implikacji i negacji

n a [n = a  b (n = b  a = b)]

BEGRIFFSSCHRIFT (1879) – ideografia logiczna, zapis pojęć w sensie logicznym

ƒ(a) – przedmiot a ujęty przez funkcję ƒ.

2·( )3 + ( ) =

() podbił ( )

Zapis lepszy niż np. 2·x3 + x, bo widać, co jest funkcją. Nie wiadomo natomiast, czy mamy tu dwa różne egzemplarze jednej zmiennej (2·x3 + x), czy dwie różne zmienne (2·x3 + y).

(1’) 2·23 + 5 = 21

(2’) Cezar podbił Galię = Prawda (funkcja prawdziwościowa)

Funkcja – sposób wiązania ze sobą pewnych przedmiotów. W analizie logicznej jest bez znaczenia, co jest podmiotem, a co orzecznikiem.

Funkcja prawdziwościowa – jako wartości przyjmuje wartości logiczne.

Identyczność struktury logiki, matematyki i języka potocznego – przedmioty i funkcje.

Wartości funkcji można ująć jako osobny przedmiot, wbrew dotychczasowemu ujęciu, traktującemu każdą wartość jako osobny przedmiot, bez zwracania uwagi na całość, która nie rzuca się w oczy.

Dowolna kombinacja przedmiotów sama jest przedmiotem.

Być liczbą parzystą, to mieć taką własność, że funkcja parzystości przyjmuje wartość 1 (prawda)

Konsekwencje ontologiczne

w świecie istnieją tylko przedmioty (odniesienia nazw, kompletne, nasycone) i funkcje (niekompletne, nienasycone) będące sposobami łączenia przedmiotów.

Funkcje istnieją w sposób realny (gdyby były arbitralnym sposobem wiązania, nasze twierdzenia o świecie byłyby fikcjami)

Odróżnienie języka, w którym mówimy o świecie i rzeczywistości, o której mówimy w języku. Predykatom odpowiadają funkcje, stany rzeczy w świecie, argumentom odpowiadają przedmioty.

Wszystko, co widzimy w świecie, możemy sami interpretować jako przedmiot lub funkcję. Prawdziwość zdań nie zależy jednak od nas.

Logicyzm

Dedukcyjny system wyprowadzania twierdzeń rachunku zdań I rzędu – początek logicyzmu

Niezupełna systematyczność

• aksjomaty dodawane w miarę potrzeby (konwencjonalność, brak dążenia do minimalizacji),

• brak rozdzielenia twierdzeń i aksjomatów (wszystko jest twierdzeniem, nie wyróżnia się aksjomatów z nazwy),

• niektóre rzeczy przyjmowane bez dowodu, jako struktury rozumowań.

• Brak podanych explicite reguł wnioskowania (Reguła Odrywania i Reguła Podstawiania wprowadzone implicite i używane jako reguły przekształcania wyrażeń, nie zaś twierdzenia)

Sens i znaczenie

Sens – powszechnie rozpoznawalna i akceptowalna treść wyrażenia.

(aspekty przedmiotów)

(Chaotyczne używanie słowa wskazuje na brak sensu.)

Odrzucenie wiązkowej teorii znaczenia (bundle theory of meaning) – brak wyróżnionych cech, kryterium – praktyka językowa.

Znaczenie – przedmiot, do którego odnosi się wyrażenie

Znaczenie – obiektywne

Sens – intersubiektywny

Przedstawienie - subiektywne

Każde poprawnie zbudowane zdanie zawiera korelat logiczny (sens) i korelat metafizyczny (znaczenie)

nazwa – sens - znaczenie

predykat – pojęcie (funkcja jednoarg.) – sposób przekształcania przedmiotów w wartość logiczną (zespół cech)

zdanie – kompletna myśl – wartość logiczna

Zdanie jest nazwą własną (określone, nasycone, wyraża pełną myśl)

Znaczenie zdania = Prawda lub Fałsz

Sens zdania = myśli

Zasada kompozycjonalności – znaczenie(sens) zdania funkcją znaczeń (sensów) składników zdania

Problem zdań podrzędnych – w kontekście intensjonalnym odniesieniem nazwy jest sens.

„Jan myśli, że Gwiazda Wieczorna jest planetą” – część podrzędną traktujemy jak nazwę:

„Jan myśli p”

Predykat, pojęcie, orzecznik – funkcja jednoargumentowa.

Predykat musi mieć miejsce puste, wypełniane przez argumenty.

predykaty imitują nazwy

Pojęcie to coś więcej niż „P” – predykatem nie jest „koń”, lecz „... jest koniem”.

Treść logiczna to zawsze jakiś sens (sens – sens nazwy, pojęcie – sens predykatu, myśl – sens zdania).

Nazwy puste – wada niedoskonałego języka

Nazwy presuponują istnienie swoich odniesień.

Zdanie z nazwą pustą nie ma wartości logicznej.

Ale

„Jan myśli, że św. Mikołaj go lubi.” – zdanie ma wartość logiczną mimo nazwy pustej – zdanie podrzędne – odniesieniem sens, a więc jest niezerowe odniesienie!

Myśl

Myśl = sąd logiczny (sens zdania)

Myśl nośnikiem prawdziwości (prawdziwa lub fałszywa), zdanie tylko formą myśli

Odróżnienie treści od asercji:

Myśl – treść myśli

Sąd – z asercją

Twierdzenie – oznajmianie zdań

Asercja odnosi się do treści

Treść = myśl + znaczenie dodatkowe (nastawienie psychologiczne, oddziaływanie..)

Myśl - obiektywna, niezależna, bezczasowo prawdziwa lub fałszywa – „trzecie królestwo”

Przedstawienie – subiektywne, niepowtarzalne, wewnętrzne

Jeśli wszystko jest przedstawieniem, to nie ma podmiotu przedstawień, więc nic nie jest przedstawieniem.

Poprawne zdanie jest kompletną myślą.

lingua mentalis (ang. mentalese) - istnieje język wewnętrzny, przezroczysty i niepoznawalny, ale konieczny i pomocny w rozumieniu

(Lingua characterica)

Prawda

Odrzucenie korespondencyjnej teorii prawdy

Prawda niedefiniowalna

Prawda – przedmiot (wartość logiczna)

Platonizm – „3 świat” – przedmioty niepostrzegalne, ale niezależne (pojęcia, liczby, wartości logiczne)

Praca naukowa polega na odkrywaniu myśli prawdziwych , nie na ich tworzeniu.

Liczba

Liczby (o określonej wartości, a nie ogólne pojęcie liczby) są przedmiotami.

Liczby nie są cechami przedmiotów.

Liczby nie mają tego samego rodzaju tożsamości, co przedmioty fizyczne – są przedmiotami idealnymi

Operacje matematyczne nie są operacjami na liczbach, lecz są odniesione do liczb.

0 - zbiór wszystkich przedmiotów, które nie są identyczne same z sobą

1 - ilość takich zbiorów

Liczby są nieruchome, niezmienne. To rzeczy się zmieniają i są przywiązywane do liczb.

Istnienie

różnica między cechami (Merkmale) i właściwościami (Eigenschaften).

Cechy – wyobrażenia (w sensie logicznym) wiążące się z pojęciami, umożliwiają rozpoznawanie przedmiotów (np. „jest kawałkiem kredy”)

Właściwości – przysługują pojęciom jako zbiorom cech (np. „to, że ilość cech kawałków kredy jest nieprzeliczalna”) – pojęcia drugiego stopnia

Pojęcie – funkcja, zbiór cech, które przeprowadzamy w Prawdę

Przy pomocy cech pewne przedmioty przeprowadzamy we właściwości.

Cechami obrazka są narysowane na nim przedmioty, kształty i kolory, a jego właściwością jest dowcipność. Właściwości przysługują cechom obrazka i same nie są narysowane.

Właściwości przysługują przedmiotom ze względu na to, że mają one pewne cechy.

Zieleń liści na drzewie jest cechą drzewa, ale ilość liści na drzewie jest właściwością pojęcia drzewa.

Istnienie jest właściwością, nie cechą. Istnienie przedmiotu nie przeprowadza w Prawdę lub Fałsz przedmiotu, lecz pojęcie. Istnieć to mieć liczebność niezerową.

Przedmiot istnieje  pojęcie przedmiotu jest niepuste.

Przedmioty mogą mieć lub nie mieć pewne cechy, ale niezależnie od tego mogą istnieć lub nie istnieć.

Przedmioty istniejące i nieistniejące nie różnią się żadną cechą

Istnieć to istnieć jako pewien przedmiot

Bycie P-em istnieje, gdy funkcja bycia P-em przeprowadza pewne przedmioty w Prawdę.

Bycie P-em nie istnieje, gdy funkcja bycia P-em przeprowadza wszystkie przedmioty w Fałsz.

Dowód ontologiczny na istnienie Boga jest bezsensowny - istnienie nie jest cechą.

Bóg istnieje, gdy bycie Bogiem jest funkcją, która pewne przedmioty przeprowadza w Prawdę.

Podanie przedmiotu przez nazywanie lub opisywanie.

„Pojęcie konia nie jest pojęciem” – paradoks (Kerry).

Frege:

Określanie czegoś jako przedmiot lub funkcję to nie opisywanie, ale własności

Aby mówić o pojęciach, trzeba je zamienić na przedmioty.

Dwuwarstwowość logiczna.

Frege Sens i znaczenie

Tożsamość wg Fregego jest stosunkiem między nazwami przedmiotów, ich znakami, nie między samymi przedmiotami. Gdyby tożsamość była relacją między przedmiotami znaczyłoby to tylko tyle, że każdy przedmiot pozostaje w relacji do samego siebie i że żaden inny nie pozostaje w tej relacji do niego. Gdyby tak było, gdyby tożsamość uznać za stosunek między tym co nazwy „a” i „b” oznaczają to a = b nie różniłoby się to od a = a, o ile tylko a = b jest prawdą. Tożsamość jest stosunkiem zachodzącym między nazwami przedmiotów. Zdanie a = a jednak, które obowiązuje a priori i od Kanta nazywamy je analitycznym, ma zerową wartość poznawczą. Natomiast zdanie typu a = b może już stanowić rozszerzenie naszej wiedzy i nie zawsze dadzą się udowodnić a priori. Stosunek między nazwami zachodzi tylko wtedy gdy coś one nazywają, jeżeli odnoszą się do tego samego obiektu. Jednak odniesienie jest kwestią arbitralnej umowy, nie można nikomu zabronić aby obrał za znak jakiś inny, dowolnie wybrany przedmiot. Zatem zdanie a = b dotyczyłoby nie rzeczy, lecz jedynie naszej symboliki. Tymczasem o to właśnie chodzi. Gdyby znak „a” różnił się od „b” tylko kao przedmiot to znowu wartość poznawcza zdania a = a byłaby taka sama jak zdania a = b o ile to drugie jest prawdą. Różnica może się pojawić tylko wtedy gdy różnym znakom odpowiadać będą różne sposoby sposoby, w jakie oznaczamy przedmiot np. niech prste a, b, c łączą wierzchołki trójkąta równobocznego z e środkami przeciwległych boków. Punkt przecięcia prostych a i b jest wtedy tożsamy z punktem przecięcia prostych b i c. Mamy więc dwa różne oznaczenia tego samego punktu.

Różne nazwy odnoszące się do tego samego przedmiotu wskazują na odmienne sposoby ujęcia tego przedmiotu. Sens (to co Russell nazywa znaczeniem) wyrażenia jest metodą dojścia do przedmiotu. Znaczenie (u Russella denotacja) jest po prostu odniesieniem. Każde gramatycznie poprawnie zbudowane wyrażenie ma sens, ale nie każde ma znaczenie np. chimera. Oboczne znaczenie słów, czyli np. to, z którym mamy do czynienia w mowie zależnej jest ich zwykłym sensem. Od sensu i znaczenia należy jeszcze odróżnić przedstawienie, które stanowi obraz wewnętrzny będący wynikiem doznanych i zapamiętanych wrażeń zmysłowych. Przedstawienie są oczywiście subiektywne i mogą być zupełnie różne u różnych ludzi.

Frege zastanawia się czym są sens i znaczenie zdań. I dochodzi do tego, że myśl wyrażana przez dane zdanie jest jego sensem, nie może być natomiast jego znaczeniem gdyż jeśli zastąpimy jedną część zdania inną o tym samym znaczeniu np. zamiast Arystoteles powiemy nauczyciel Aleksandra Wielkiego, to myśl się zmieni i ktoś mógłby uznać jedno zdanie za prawdziwe a drugie za fałszywe. Znaczenia zdań trzeba się doszukiwać zawsze wtedy, gdy rolę gra znaczenie ich składników. Znaczeniem zdania jest jego wartość logiczna (odniesienie do jednego z dwóch przedmiotów: prawdy lub fałszu). Zdania nie mają znaczenia jeśli występują w nich nazwy, które same nie mają znaczenia np.: „Odyseusz został wysadzony w głębokim śnie na ląd Itaki”. Nazwa Odyseusz ma oczywiście sens, nie ma jednak znaczenia. Skoro znaczeniem zdania jest jego wartość logiczna, to wszystkie zdania prawdziwe mają to samo znaczenie, i wszystkie fałszywe też. Wszystkie szczegóły ulegają zatarciu, dlatego nie chodzi nigdy o samo znaczenie zdania, albo o sam jego sens. Wiedzę daje dopiero myśl połączona ze swym znaczeniem.

Kwestia zdań pobocznych występujących jako składniki konstrukcji zdaniowych. Problem: co jest znaczeniem zdań pobocznych??? Wiadomo, że jeśli chodzi o zdania w mowie zależnej ich znaczeniem nie jest wartość logiczna, ale myśl, a sensem nie myśl, ale sens słów „myśl, że...”. Tak samo jest ze zdaniami zawierającymi słowa: „mówić”, „słyszeć”, „myśleć”, cieszyć się”, „pochwalać”, „ubolewać”, „oczekiwać”, „obawiać się”, ze zdaniami okolicznikowymi celu z „aby”.

Ale np. „Ten, kto odkrył eliptyczność torów planet, zmarł w nędzy”. Gdyby sensem zdania pobocznego była myśl, to musiałoby się ją dać wyrazić także jako zdanie główne. Jest to jednak nie możliwe ponieważ podmiot „ten” nie ma samodzielnego sensu i stanowi jedynie nawiązanie do „zmarł w nędzy”. Sensem tego zdania pobocznego nie jest tu więc myśl, a jego znaczeniem nie wartość logiczna, a Kepler. 

Innym przykładem zdań, których znaczeniem nie jest wartość logiczna są zdania, w których jeden ze składników nie jest nazwą, ale elementem markującym!!! Np. „Gdy Słońce stoi w Zwrotniku Raka, to na półkuli północnej mamy najdłuższy dzień. Także tutaj sensu zdania pobocznego nie da się wyrazić jako zdania głównego, gdyż sens jego nie jest zakończoną myślą. Gdyby bowiem powiedzieć „Słońce stoi w Zwrotniku Raka” to odnieślibyśmy to do naszej teraźniejszości zmieniając tym samy sens.

Trudno wyczerpać wszystkie możliwości języka. Główne powody dla których nie zawsze można bez uszczerbku dla wartości logicznej całego zdania zastąpić w nim zdanie poboczne innym o tej samej wartości logicznej są następujące:

1. zdanie poboczne nie oznacza wartości logicznej wyrażając jedynie część myśli

2. zdanie poboczne oznacza wprawdzie wartość logiczną, ale się do tego nie ogranicza, gdyż jego sens obejmuje oprócz jednej myśli także inną.